Álgebra lineal Ejemplos

$\frac{x - 5}{- x - 1} < 0$

Paso 1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x - 5 = 0$

$- x - 1 = 0$

Paso 2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 3

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$- x = 1$

Paso 4

Divide cada término en $- x = 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 4.1

Divide cada término en $- x = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{1}{- 1}$

Paso 4.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{- 1}$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Divide $1$ por $- 1$ .

$x = - 1$

Paso 5

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 5$

$x = - 1$

Paso 6

Consolida las soluciones.

$x = 5, - 1$

Paso 7

Obtén el dominio de $\frac{x - 5}{- x - 1}$ .

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Paso 7.1

Establece el denominador en $\frac{x - 5}{- x - 1}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$- x - 1 = 0$

Paso 7.2

Resuelve $x$

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Paso 7.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$- x = 1$

Paso 7.2.2

Divide cada término en $- x = 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 7.2.2.1

Divide cada término en $- x = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Paso 7.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{1}{- 1}$

Paso 7.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{- 1}$

Paso 7.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.2.3.1

Divide $1$ por $- 1$ .

$x = - 1$

Paso 7.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Paso 8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 1$

$- 1 < x < 5$

$x > 5$

Paso 9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 9.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 9.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$\frac{(- 4) - 5}{- (- 4) - 1} < 0$

Paso 9.1.3

$- 3$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 9.2

Prueba un valor en el intervalo $- 1 < x < 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 1 < x < 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 9.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{(0) - 5}{- (0) - 1} < 0$

Paso 9.2.3

$5$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 9.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 8$

Paso 9.3.2

Reemplaza $x$ con $8$ en la desigualdad original.

$\frac{(8) - 5}{- (8) - 1} < 0$

Paso 9.3.3

$- 0.\overline{3}$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 9.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 1$ Verdadero

$- 1 < x < 5$ Falso

$x > 5$ Verdadero

$x < - 1$ Verdadero

$- 1 < x < 5$ Falso

$x > 5$ Verdadero

Paso 10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 1$ o $x > 5$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x < - 1 or x > 5$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 1) \cup (5, \infty)$

Paso 12